定義一覧

• $\operatorname{ceil}$：切り上げ
• $\operatorname{floor}$：切り捨て
• $\operatorname{round}$：四捨五入
• $b$：購入金額（整数）
• $p$：１口当たり基準価額
• $r$：購入口数（整数）
  • $r_0 = \operatorname{floor}\left(\frac{b}{p}\right)$
  • $b_0 = \operatorname{round}\left(pr_0\right)$
  • $r = r_0$ （$b_0 = b$ の場合）
  • $r = r_0 + 1$ （$b_0 < b$ の場合）

✅定義

金額指定買付に登場する記号を次のように定義します：

• $b$ [円]：投資信託の購入金額（整数）
• $p$ [円/口]：投資信託の１口当たりの基準価額（約定価格）
• $r$ [口]：投資信託の購入口数（整数）
  • 理想的な（口数を実数で保有できる）場合，購入口数は $\dfrac{b}{p}$

また，実数 $x$ に対して以下の整数化関数を定めます：

• $\operatorname{ceil}(x)$：$x$ を整数に切り上げた値
• $\operatorname{floor}(x)$：$x$ を整数に切り捨てた値
• $\operatorname{round}(x)$：$x$ を四捨五入した値

✅簡易版の計算式（楽天, SBI, GMOｸﾘｯｸ）

$p > 0.5$ （1万口あたり基準価額が5,001円以上）のとき，楽天証券，SBI証券，GMOクリック証券では，購入口数は３つの手順で決まります：

$$r=\operatorname{ceil}\left(\frac{b-0.5}{p}\right)$$

✅厳密な計算式と同じ結果になることの証明

楽天証券，SBI証券，GMOクリック証券での厳密な計算式は以下の通りです：

1. 理想的口数を切り捨て：$\displaystyle{r_{0}=\operatorname{floor}\left(\frac{b}{p}\right)}$
2. $r_0$ 口購入した場合の評価額を四捨五入：$b_{0}=\operatorname{round}\left(pr_{0}\right)$
3. $b_0$ が $b$ 未満なら１口追加：

$$r=\begin{cases} r_{0}+1 & \text{if } b_{0} < b\\ r_{0} & \text{if } b_{0} = b \end{cases}$$

$p > 0.5$ のとき，上記の計算式で得られる $r$ が $\operatorname{ceil}\left(\frac{b-0.5}{p}\right)$ と同じ値になることを証明します．

【証明】

• 切り捨て関数の性質より，$\frac{b}{p}-1 < r_0 \le \frac{b}{p}$
• 各辺に $p$ をかけると，$b-p < p r_0 \le b$

そこで，$pr_0$ が区間 $(b-p, b-0.5)$ にある場合と，区間 $[b-0.5, b]$ にある場合の２つに分けて考えます（$b-p < b-0.5$ に注意）．

▶ $b-p < pr_0 < b-0.5$ のとき

• $pr_0 < b-0.5$ より $r_0 < \frac{b-0.5}{p}$
• $b-p < pr_0$ より $\frac{b}{p}-1 < r_0$．よって $\frac{b-0.5}{p} < \frac{b}{p} < r_0 +1$
• 上記の不等式をまとめると，$r_0 < \frac{b-0.5}{p} < r_0 +1$
• $r_0$ は整数なので，$\operatorname{ceil}\left(\frac{b-0.5}{p}\right) = r_0 +1$
• 一方厳密な計算式からは， $b_0 < b$ より $r=r_0+1$

▶ $b-0.5 \le pr_0 \le b$ のとき

• $pr_0 \le b$ より $r_0 \le \frac{b}{p}$．よって $r_0-1 \le \frac{b}{p}-1 = \frac{b-p}{p} < \frac{b-0.5}{p}$
• $b-0.5 \le pr_0$ より $\frac{b-0.5}{p} \le r_0$．
• 上記の不等式をまとめると，$r_0 -1 < \frac{b-0.5}{p} \le r_0$
• $r_0$ は整数なので，$\operatorname{ceil}\left(\frac{b-0.5}{p}\right) = r_0$．
• 一方厳密な計算式からは，$b_0 = b$ より $r=r_0$

よって，どちらの区間においても，$r=\operatorname{ceil}\left(\frac{b-0.5}{p}\right)$．

✅参考：別方式との比較

三菱UFJ eスマート証券，マネックス証券，松井証券では，購入口数は $r = \operatorname{ceil}\left(\frac{b}{p}\right)$ で決まります．

今回紹介した計算式 $r = \operatorname{ceil}\left(\frac{b-0.5}{p}\right)$ と比べると，明確に0.5円分の優劣が観察できます．

おわりに

ご覧いただきありがとうございました．