定義一覧

• $t$：税率
• $\theta$：利回り
• $B$ 円投資時の $n$ 年目手取り：
  • 分配型：$d=(1-t)\theta B$
  • 再投資型：$d_n=d+t(1+\theta)^{-n}\theta B$
• 毎年手取り $D$ 円を得る元本：
  • 分配型：$Y=\frac{1}{(1-t)\theta}D$
  • 再投資型：$Z=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(1-t)(1+\theta)^k+t}D \simeq \left( 1-\frac{t}{2} \right)Y$

定義

本記事で用いる語句・記号を定義します．

語句

• 分配型：配当金や分配金を定期的に投資家へ払い出す仕組み，またはその商品
• 再投資型：分配金を払い出さず，ファンド内部で自動的に再投資する仕組み，またはその商品（投資信託）
• 手取り額：分配金受取額または資産売却益から税金を差し引いた金額

記号

共通設定

• $t$：分配金および譲渡益に対する共通の税率
• 同一の指数に連動
• 運用益以外の要素（信託報酬等の保有コスト）は無視

分配型の仮定

• 年1回の分配金利回りを $\theta$ とし，支払われる分配金のみを生活費に充当
• 価格は分配金落ち後，次回の支払いまでに元の水準まで回復（価格不変の仮定）

再投資型の仮定

• 分配金は全額内部再投資され，価格は年利 $\theta$ で幾何級数的に上昇
• 購入時価格を $p$ とすると， $n$ 年後の価格は $(1+\theta)^n p$
• 毎年，分配型と同等の手取り額を得るために資産の一部を売却（取り崩し）し，生活費に充当

同額投資時の手取り比較

導出

分配型について

分配金利回り $\theta$ なので，税引き前で毎年 $\theta B$ の分配金が得られます． これに対し $t\cdot \theta B$ 円の税金が発生するため，税引き後の手取り額は $d= (1-t)\theta B$ 円となります． 累計手取り額は $W_n=nd=n(1-t)\theta B$ 円となります．

再投資型について

$n$ 年目の取り崩し額（額面）は，分配型の税引き前分配金額に合わせるため $\theta B$ 円です．

購入時の商品価格を $p$ とすると，$n$ 年後の価格 $p_n$は $p_n = (1+\theta)^n p$ です（取得価格は $p$ のまま）． $n$ 年目の売却口数を $r_n$ とすると，取り崩し額を価格で割ることで $r_n = \frac{\theta B}{p_n} = \frac{\theta B}{(1+\theta)^n p}$ となります．

取得費用は $r_n p$ ，売却額（額面）は $r_n p_n$ なので， 譲渡益 $g_n$ は次のように計算されます：

$$g_n = r_n p_n - r_n p = \theta B - r_n p = \theta B - \frac{\theta B}{(1+\theta)^n p} p \\ = \theta B \left\{ 1 - (1+\theta)^{-n} \right\}$$

よって，$n$ 年目の手取り額 $d_n$ は，取り崩し額 $\theta B$ から税金 $t g_n$ を差し引いた額となります：

$$d_n = \theta B - t g_n = \theta B - t \theta B \left\{ 1 - (1+\theta)^{-n} \right\} \\ = (1-t) \theta B + t \theta B (1+\theta)^{-n} = d + t (1+\theta)^{-n} \theta B$$

また累計手取り額 $X_n$ は，

$$X_n = \sum_{k=1}^n d_k = \sum_{k=1}^n \left\{ d + t (1+\theta)^{-k} \theta B \right\} = W_n + t \theta B \sum_{k=1}^n (1+\theta)^{-k} \\ = W_n + \left\{ 1 - (1+\theta)^{-n} \right\} tB$$

となります．

同一の手取りを得るための元本比較

導出

分配型について

分配金利回り $\theta$ なので，税引き前で毎年 $\theta Y$ の分配金が得られます． これに対し $t\cdot \theta Y$ 円の税金が発生するため，税引き後の手取り額は $(1-t)\theta Y$ 円となります． 恒久的に毎年 $D$ 円の手取りを得るためには，$(1-t)\theta Y = D$ を満たす必要があるため，必要な元本は $Y=\frac{1}{(1-t)\theta}D$ 円となります．

再投資型について 取り崩し額 $f_n$ から考えます． $n$ 年後の価格を $p_n = (1+\theta)^n p$ と表記します（取得価格は $p$）．

$n$ 年目の売却額 $f_n$ に対して取得費用は $\frac{p}{p_n}f_n$ なので，譲渡益は $f_n - \frac{p}{p_n}f_n$ となります． よって，税金 $t f_n \left(1- \frac{p}{p_n} \right)= t f_n \left\{ 1-(1+\theta)^{-n} \right\}$ が発生し，手取り額は

$$f_n - t f_n \left\{ 1-(1+\theta)^{-n} \right\} = f_n \left\{ 1-t+t(1+\theta)^{-n} \right\}$$

となります． 恒久的に毎年 $D$ 円の手取りを得るためには，$f_n \left\{ 1-t+t(1+\theta)^{-n} \right\} = D$ を満たす必要があるため，

$$f_n = \frac{1}{1-t+t(1+\theta)^{-n}}D$$

となります．

次に，必要な元本 $Z$ を考えます． $n$ 年目の取り崩し直後の残高を $Z_n$ とすると，$Z_0=Z$ であり，$n\ge 1$ のとき $Z_n = (1+\theta) Z_{n-1} - f_n$ となります． 一般項を求めると，

$$Z_n = (1+\theta)^n \left( Z - \sum_{k=1}^n \frac{f_k}{(1+\theta)^k} \right)$$

となります．

毎年取り崩すためには，各年の取り崩し直後の残高 $Z_n$ が正でなければなりません（$Z_n \le 0$ となったら翌年以降は取り崩せないため）． つまり，

$$Z > \sum_{k=1}^n \frac{f_k}{(1+\theta)^k} \quad \text{for all } n \ge 1$$

を満たす必要があります． この条件を満たす最小の $Z$ が必要な元本となりますが，右辺は $n$ に対して単調増加であるため，$n \to \infty$ としたときの極限値を考えれば十分です． よって，必要な元本 $Z$ は次の式で与えられます．

$$Z = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{f_k}{(1+\theta)^k} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(1-t)(1+\theta)^k+t}D$$

この級数が収束することは次の主張で扱います．

残高推移と収束

導出

$$Z_n = (1+\theta)^n \left( Z - \sum_{k=1}^n \frac{D}{(1-t)(1+\theta)^k+t} \right)$$

より，$Z=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(1-t)(1+\theta)^k+t}D$ を代入すると，

$$Z_n = (1+\theta)^n \sum_{{\color{red}k=n+1}}^{\infty} \frac{D}{(1-t)(1+\theta)^k+t}$$

となります．これが $n \to \infty$ で $Y$ に収束することを示します．

まず，$(1-t)(1+\theta)^k+t \ge (1-t)(1+\theta)^k$ より，

$$\sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{D}{(1-t)(1+\theta)^k+t} \le \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{D}{(1-t)(1+\theta)^k}\\ = \frac{D}{(1-t)} \frac{1}{\theta (1+\theta)^n} = \frac{Y}{(1+\theta)^n}$$

次に，$k\ge n+1$ のとき $(1-t)(1+\theta)^k+t =(1+\theta)^k \left\{ 1-t+t(1+\theta)^{-k} \right\} \le (1+\theta)^k \left\{ 1-t+t(1+\theta)^{-n} \right\}$ より，

$$\sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{D}{(1-t)(1+\theta)^k+t} \ge \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{D}{(1+\theta)^k \left\{ 1-t+t(1+\theta)^{-n} \right\}}\\ = \frac{D}{1-t+t(1+\theta)^{-n}} \frac{1}{\theta (1+\theta)^n}$$

よって，

$$\frac{D}{(1-t)\theta+t\theta(1+\theta)^{-n}} \le Z_n \le Y$$

上式の左辺は $n \to \infty$ で $\frac{D}{(1-t)\theta}=Y$ に収束するため，はさみうちの原理より，$Z_n$ も $Y$ に収束します．

元本削減の効果

導出

$x$ の単調減少関数 $h(x)$ を次のように定義します．

$$h(x) = \frac{D}{(1-t)(1+\theta)^x + t}$$

これを用いると，$Z$ は次のように評価できます．

$$Z = \sum_{k=1}^{\infty} h(k) \le \int_{0}^{\infty} h(x) dx = \frac{D}{t \ln(1+\theta)} \ln\left(\frac{1}{1-t}\right)$$

よって，

$$\frac{Z}{Y} \le \frac{1-t}{t} \ln\left(\frac{1}{1-t}\right) \frac{\theta}{\ln(1+\theta)}$$

ここで，

• $\theta$ が小さいとき $\ln(1+\theta) \simeq \theta$
• $t$ が小さいとき

$$\begin{aligned} \frac{1-t}{t} \ln\left(\frac{1}{1-t}\right) &= - \frac{1-t}{t} \ln(1-t) \simeq \frac{1-t}{t} \left(t + \frac{t^2}{2}\right) \\ &= (1-t)\left(1 + \frac{t}{2}\right) \simeq 1 - \frac{t}{2} \end{aligned}$$

となるので，

$$\frac{Z}{Y} \le 1 - \frac{t}{2}$$

が得られます．

同様に，

$$\begin{aligned} Z &\ge \int_{0}^{\infty} h(x+1) dx = \int_{1}^{\infty} h(x) dx \\ &= \frac{D}{t \ln(1+\theta)} \ln \left( 1 + \frac{t}{(1-t)(1+\theta)} \right) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \frac{Z}{Y} &\ge \frac{1-t}{t} \ln \left( 1 + \frac{t}{(1-t)(1+\theta)} \right) \frac{\theta}{\ln(1+\theta)} \\ &\simeq \frac{1-t}{t} \left\{ \frac{t}{(1-t)(1+\theta)} - \frac{1}{2} \frac{t^2}{(1-t)^2(1+\theta)^2} \right\} \\ &= \frac{1}{1+\theta} - \frac{1}{2} \frac{t}{(1-t)(1+\theta)^2} \\ &\simeq (1-\theta) - \frac{1}{2} t (1+t)(1-\theta)^2 \\ &\simeq 1 - \theta - \frac{1}{2} t (1-2\theta) \\ &\simeq 1 - \theta - \frac{1}{2} t \end{aligned}$$

必要元本を過小評価しないよう上界の評価を採用することで，目的の近似式 $Z \simeq (1 - \frac{t}{2})Y$ が得られます．

おわりに

級数やはさみうちの原理などの基本的な数学的手法を用いて，必要元本の違いを導出する過程は興味深いものでした． ご覧いただきありがとうございました．