残クレの仕組みを数式で再現！通常のローンとも比較

残クレの仕組みを数式で再現！通常のローンとも比較

#数学#シミュレーター#ローン
💡 概要

本記事では，残価設定ローン（残クレ）の仕組みを数式で再現します． 一般的なローン（元利均等返済）と比べて，月々の支払額が少なくなる理由，残価を含む総支払額が高くなる理由も数式で説明します．

残クレの支払額

車両価格 aa，残価 b (≤a)b \ (\le a)，支払回数 NN，年利率 θ\theta の下で残クレを考えます． 便宜のために月利率 tt を導入します． tt は次の式で計算されます：

t=θ12t = \frac{\theta}{12}

（厳密には t=(1+θ)112−1t = (1 + \theta)^{\frac{1}{12}} - 1 ですが，実際には上式で計算されることが多いです）

このとき，残クレの毎月の支払額 cc は

c=(1+t)Na−b(1+t)N−1tc = \frac{(1 + t)^N a - b}{(1 + t)^N - 1}t

で計算されます（導出は後述）．

またNN 回目までの支払額の総額は

Nc=(1+t)Na−b(1+t)N−1t⋅NNc=\frac{(1 + t)^N a - b}{(1 + t)^N - 1}t\cdot N

であり，さらに残価 bb を支払って買い取りする場合の総支払額 SS は

S=Nc+b=(1+t)Na−b(1+t)N−1t⋅N+bS=Nc+b=\frac{(1 + t)^N a - b}{(1 + t)^N - 1}t\cdot N+b

となります．

📐 導出

毎月支払額 c=(1+t)Na−b(1+t)N−1tc = \frac{(1 + t)^N a - b}{(1 + t)^N - 1}t を導出します．

まず，a0=aa_0=a とし，nn 回目の支払直後のローン残高を ana_n とします（1≤n≤N1 \leq n \leq N）． ana_n は，n−1n-1 回目の支払直後のローン残高 an−1a_{n-1} から，利息分 tan−1t a_{n-1} を加えた後に毎月の支払額 cc を引くことで計算できます：

an=an−1+tan−1−c=(1+t)an−1−ca_n = a_{n-1} + t a_{n-1} - c = (1 + t) a_{n-1} - c

上記の漸化式を an−ct=(1+t)(an−1−ct)a_n-\frac{c}{t} = (1 + t) \left(a_{n-1}-\frac{c}{t}\right) と変形すれば，an−cta_n-\frac{c}{t} は公比 (1+t)(1+t) ，初項 a0−cta_0-\frac{c}{t} の等比数列となるので，

an=ct+(1+t)n(a0−ct)=(1+t)na−(1+t)n−1tca_n= \frac{c}{t} + (1 + t)^n \left(a_0-\frac{c}{t}\right) = (1+t)^n a - \frac{(1+t)^n - 1}{t} c

が得られます． 最終支払後のローン残高は aN=ba_N=b なので，上式で n=Nn=N とすれば

b=(1+t)Na−(1+t)N−1tcb = (1+t)^N a - \frac{(1+t)^N - 1}{t} c

となり，cc が求められます．

共通の金利で通常ローンと比較

元金（車両価格） aa，支払回数 NN，月利率 tt の下で，残価 bb の残クレ と 通常のローン（元利均等返済） を比較します．

まず，通常ローンは，残価を 00 に設定した残クレ とみなすことができます． よってこの場合の毎月の支払額 c′c' は，残クレの毎月支払額の式中の bb を 00 に置き換えることで計算できます：

c′=(1+t)Na(1+t)N−1tc' = \frac{(1 + t)^N a}{(1 + t)^N - 1}t

また，NN 回目までの支払総額 S′S' は

S′=Nc′=(1+t)Na(1+t)N−1t⋅NS' = N c' = \frac{(1 + t)^N a}{(1 + t)^N - 1}t \cdot N

で計算されます．

残クレの毎月支払額 cc を変形すると

c=(1+t)Na(1+t)N−1t−b(1+t)N−1t=c′−b(1+t)N−1t<c′\begin{align*} c &= \frac{(1 + t)^N a}{(1 + t)^N - 1}t - \frac{b}{(1 + t)^N - 1}t\\ & = c' - \frac{b}{(1 + t)^N - 1}t\\ &< c' \end{align*}

となるので，毎月支払額は，残クレの方が通常のローンよりも安くなります．

一方，残価を含めた支払総額 SS を変形すると

S=Nc+b=N(c′−b(1+t)N−1t)+b=Nc′−btN(1+t)N−1+b=S′+b(1−tN(1+t)N−1)>S′(∵ (1+t)N−1>tN)\begin{align*} S &= Nc+b\\ &= N \left(c' - \frac{b}{(1 + t)^N - 1}t \right) + b\\ &= Nc'- \frac{btN}{(1 + t)^N - 1} + b \\ &= S'+b\left( 1-\frac{t N}{(1 + t)^N - 1} \right)\\ &> S'\quad (\because \ (1 + t)^N - 1 > t N) \end{align*}

となるので，残価を含めた総支払額は，残クレの方が通常のローンよりも高くなります．

✅ 結論

共通の金利で残クレと通常ローンを比較すると，

  • 残クレの方が毎月の支払額は安い
  • 残クレ方が残価を含めた総支払額は高い

シミュレーター

条件設定

万円
万円
%
月利率 t = θ/12 = 0.2917 %
ヶ月

計算結果の比較

項目残クレ通常ローン差額
毎月の支払額c: 36,245 円c': 54,575 円-18,330 円
支払総額（残価含まない）2,174,708 円3,274,514 円-
支払総額（残価含む）S: 3,374,708 円S': 3,274,514 円+100,194 円

ローン残高の推移

● 残クレローン残高● 通常ローン残高

金利が高くても月々が安い仕組み：異なる金利で通常ローンと比較

先ほどは，共通の金利の下で残クレと通常ローンを比較し，残クレの毎月支払額 << 通常ローンの毎月支払額 という結果を得ました． しかし，両者の金利は必ずしも同じではありません．

そこで，残クレの年利 θ\theta （月利 tt）と通常ローンの年利 θ′\theta' （月利 t′t'）が異なる場合を考えます．

(1+t)N≃1+Nt(1 + t)^N \simeq 1 + Nt と近似すると，残クレの毎月支払額 cc と通常ローンの毎月支払額 c′c' は以下のように近似できます：

c=(1+t)Na−b(1+t)N−1t≃(1+Nt)a−bNtt=ta+a−bNc′=(1+t′)Na(1+t′)N−1t′≃t′a+aN\begin{align*} c &= \frac{(1 + t)^N a - b}{(1 + t)^N - 1}t \simeq \frac{(1 + Nt) a - b}{Nt}t = ta + \frac{a-b}{N} \\ c' &= \frac{(1 + t')^N a}{(1 + t')^N - 1}t' \simeq t'a + \frac{a}{N} \end{align*}

c<c′c < c' であることと次の式は（ほぼ）同値です：

t<t′+bNa(⟺θ<θ′+12bNa)t < t' + \frac{b}{Na}\quad \left(\Longleftrightarrow \theta < \theta' + \frac{12b}{Na} \right)

つまり，残クレ金利 θ\theta が通常ローン金利 θ′\theta' より（最大 12bNa\frac{12b}{Na} 程度）高くても，毎月支払額は残クレの方が安くなります． 一方，このような（t>t′t > t' の）場合，残クレ総額 S=Nc+bS=Nc+b と通常ローン総額 S′=Nc′S'=Nc' の差は

S−S′=N(c−c′)+b≃N(ta+a−bN−t′a−aN)+b=N(t−t′)a−b+b>0\begin{align*} S - S' &= N(c-c')+b\\ &\simeq N\left(ta + \frac{a-b}{N} - t'a - \frac{a}{N}\right)+b\\ &= N(t-t')a - b + b > 0 \end{align*}

となり，支払総額は残クレの方が高くなります．

◆ 例

b=0.5ab= 0.5 a（残価が車両価格の半額），N=60N=60 （支払期間5年）のとき，

12bNa=12⋅0.5a60a=0.1=10%\frac{12b}{Na} = \frac{12 \cdot 0.5 a}{60 a} = 0.1 = 10\%

より， θ<θ′+10%\theta< \theta' + 10\% の場合でも，残クレの毎月支払額は通常ローンのそれより安くなります（総額では S>S′S>S'）．

おわりに

本記事では，残クレの仕組みを数式で再現し，通常のローンと比較しました． 残クレは目先の「毎月の支払額」が安くなりやすい一方，「総支払額」が高くなりやすいことが数学的にわかりました．

ご覧いただきありがとうございました．